02. 문을 여는 열쇠와 반드시 지나야 할 문

졸업하려면 정해진 학점을 채워야 한다. 학점을 채웠다고 언제나 졸업하는 것은 아니다. 다른 요건이 남을 수 있기 때문이다. 이 짧은 문장 안에서 학점은 졸업의 필요조건이지만 그것만으로 충분하지는 않다.

조건을 읽을 때 일상어의 ‘필요하다’와 논리학의 필요조건을 섞으면 방향이 뒤집힌다. 화살표의 출발과 도착을 분명히 해 보자.

충분조건은 결과를 보장하는 출발점이다

‘P이면 Q이다’에서 P가 참이면 Q가 따라온다. 이때 P는 Q의 충분조건이다. 개가 되는 것은 포유류가 되기에 충분하다. 하지만 포유류가 되는 길은 개 말고도 많다. ‘충분’은 그것 하나만 있으면 결과가 온다는 뜻이지, 그 길만 존재한다는 뜻이 아니다.

필요조건은 결과가 성립하려면 빠질 수 없는 조건이다

같은 조건문에서 Q는 P의 필요조건이다. 개라면 반드시 포유류여야 하므로 포유류임은 개임의 필요조건이다. Q가 없으면 P도 없다. 그래서 원래 조건문의 대우인 ‘Q가 아니면 P가 아니다’는 논리적으로 같은 힘을 갖는다. 반면 ‘Q이면 P이다’라는 역은 자동으로 따라오지 않는다.

필요충분조건은 양방향 화살표다

P가 Q의 충분조건이면서 필요조건이면 P와 Q는 필요충분 관계다. 이때 ‘P일 때 그리고 오직 그때 Q’라고 말할 수 있다. 정의문에서 자주 나타나지만 현실의 복잡한 개념은 깔끔한 필요충분조건을 찾기 어렵다. 지식이나 정의, 예술을 한 줄로 정의하려는 논쟁이 오래가는 까닭도 여기에 있다.

반례는 화살표가 너무 강한지 시험한다

‘성적이 높으면 성실하다’에 반대하려면 성적은 높지만 성실하지 않은 한 사례를 찾으면 된다. 반례는 전건이 참이고 후건이 거짓인 경우다. 전건·후건을 적고 역·이·대우를 나누면, 지문의 ‘오직’, ‘반드시’, ‘~만으로’가 얼마나 강한 주장인지 보인다.