‘모두 그렇지는 않다’가 남겨 두는 가능성

양화 · 부정의 범위 · 같은 대상

회의에서 누군가 ‘모든 회원이 이 안에 찬성하지는 않았다’고 말한다. 이 말을 ‘아무도 찬성하지 않았다’로 옮기면 회의의 모습이 크게 바뀐다. 한 명만 반대했을 수도 있기 때문이다. 부정은 문장에 ‘아니다’를 붙이는 것보다, 무엇의 성립을 어디까지 거부하는지 정하는 일이다.

전체의 성립을 깨는 데 필요한 것은 하나

‘모든 회원이 찬성했다’가 참이려면 회원 가운데 반대하거나 찬성하지 않은 사람이 없어야 한다. 이를 부정하는 ‘모두가 찬성한 것은 아니다’는 적어도 한 명이 찬성하지 않았다는 뜻이다. 나머지는 전부 찬성했어도 된다. 반면 ‘아무 회원도 찬성하지 않았다’는 찬성자가 한 명도 없다는 더 강한 주장이다. 회원이 실제로 있는 상황에서 전원 찬성과 전원 비찬성은 둘 다 거짓일 수 있다. 일부는 찬성하고 일부는 그렇지 않은 경우가 있기 때문이다.

‘어떤 회원은 찬성했다’에서 어떤은 논리적으로 적어도 한 명을 뜻한다. 일상 대화에서는 ‘전부는 아니고 일부만’이라는 느낌을 줄 수 있지만, 그 추가 의미가 명시되지 않으면 모든 회원이 찬성한 경우도 포함한다. 이 문장을 부정하려면 찬성한 회원이 단 한 명도 없다고 해야 한다. 두 명의 반대자를 찾았다는 사실만으로 찬성자가 존재한다는 주장을 반박할 수 없는 이유다. 논리의 일부와 일상어의 일부가 항상 같은 범위를 갖지는 않는다.

대상을 고르는 순서도 주장에 들어 있다

‘모든 학생에게 읽고 싶은 책이 한 권 이상 있다’와 ‘모든 학생이 읽고 싶어 하는 책이 한 권 이상 있다’를 비교해 보자. 앞에서는 학생마다 다른 책을 골라도 된다. 뒤에서는 먼저 같은 한 권을 잡고 모든 학생에게 해당하는지 묻는다. 같은 학생과 책이 등장해도 ‘각자에게 하나’와 ‘모두에게 공통인 하나’는 다르다. 공통 책이 있다면 각자의 책도 있지만, 각자의 책이 있다고 공통 책까지 보장되는 것은 아니다. 양화의 순서를 바꾸면 증명해야 할 관계 자체가 강해질 수 있다.

부정하기 전에 문장의 범위를 고정한다

누구를 회원으로 세는지, 어느 회의의 어느 안건인지가 달라지면 같은 표현의 진리도 달라진다. ‘모든 학생이 한 권을 읽었다’처럼 각자 다른 한 권인지 같은 한 권인지 애매한 문장은 문맥으로 범위를 먼저 정해야 한다. 또한 고전 술어논리에서는 ‘모든 A는 B다’를 A인 대상이 반드시 있다는 주장으로 읽지 않는다. 빈 교실에 대해 ‘이 교실의 모든 지각생은 사유서를 냈다’고 해도 그 말만으로 지각생이 있었다고 결론 낼 수 없다. 일상 문장은 존재를 전제할 때가 많으므로 형식논리의 해석과 실제 발화의 전제를 구별해야 한다.

직접 만든 예

민수는 책 A만, 지연은 A와 다른 책 B만 읽고 싶어 한다. 두 사람 모두 읽고 싶은 책은 있지만, 둘 다 읽고 싶어 하는 같은 책은 없다.

‘각자에게 책이 있다’가 참이어도 ‘모두에게 공통인 책이 있다’는 거짓일 수 있다. 사람과 책의 이름을 고정해 보면 양화 순서가 만든 차이가 드러난다.

다시 읽을 때

부정의 세기보다 범위를 보고, ‘각자 하나’와 ‘공통의 하나’를 구별한다.

근거 자료: OpenStax, Statements and Quantifiers / Oscar Levin, Quantifiers and Predicate Logic / Stanford Encyclopedia of Philosophy, The Traditional Square of Opposition