기대효용과 위험선호

1. 개요

기대효용은 결과와 각 결과의 확률을 아는 위험 상황에서, 결과의 효용을 확률로 가중해 복권을 비교하는 기준이다. 결과별 확률을 특정하기 어려운 불확실성까지 자동으로 다루는 이론은 아니다.¹ 확실한 선택을 다루는 합리적 경제인과 효용함수와 무차별곡선과 예산선의 효용 개념을 복권으로 넓히되, 화폐의 기대값과 효용의 기대값을 서로 다른 장부에 기록한다.

이 문서는 개인이 불확실한 결과를 어떻게 평가하는지에 초점을 둔다. 그 선택이 위험 풀의 가격과 계약으로 바뀌는 과정은 보험의 위험 분산과 대수의 법칙이 맡는다. 미래 자원을 시점 사이에 배분하는 생애주기와 기간간 소비선택, 불확실한 수익을 시장에서 해석하는 효율적 시장 가설과 차익거래와도 문제의 축이 다르다.

2. 상세

2.1. 1. 기대화폐값과 기대효용은 다른 장부다

두 결과 x₁, x₂가 각각 확률 p, 1-p로 생기는 복권을 생각하자. 기대화폐값은 결과 자체를 가중한 E[x]=px₁+(1-p)x₂이다. 기대효용은 각 결과를 먼저 효용으로 바꾼 E[u(x)]=pu(x₁)+(1-p)u(x₂)이다. 앞은 화폐 단위의 평균, 뒤는 복권을 선호 순서에 놓기 위한 효용 장부다.²

같은 기대화폐값을 가진 복권이라도 결과가 퍼진 정도와 효용함수의 모양이 다르면 기대효용 순위가 달라질 수 있다. 따라서 선지에서 E[x]가 크다는 사실만으로 그 복권을 반드시 선택한다고 결론 내리면 안 된다. 결과→효용 변환→확률가중의 순서를 지켜야 한다.

2.2. 2. 왜 VNM 효용의 숫자 간격이 중요한가

확실한 소비묶음의 순위만 나타내는 서수효용은 순서를 보존하는 단조변환을 해도 같은 선택을 표현한다. 그러나 폰 노이만-모르겐슈테른 효용은 효용 숫자가 확률가중식 안으로 들어간다. 그래서 임의의 단조변환은 숫자 사이의 간격을 바꾸어 복권 순위까지 바꿀 수 있다.

같은 복권 선호를 보존하는 변환은 a>0인 au(x)+b 꼴의 양의 아핀변환으로 제한된다.³ 수험생에게 중요한 직관은 간단하다. 확실성하 효용에서는 순서가 중심이지만, 기대효용에서는 결과별 효용의 간격도 가중합에 작용한다. 그렇다고 효용 숫자를 사람 사이에서 직접 비교할 수 있는 절대 점수로 받아들여서는 안 된다.

2.3. 3. 곡률로 위험선호를 판독한다

화폐나 부를 가로축, 효용을 세로축에 놓자. 오목한 효용함수는 부가 늘수록 추가 한 단위의 효용 증가가 작아지는 모양이다. 이때 같은 기대값을 주는 확실한 결과의 효용 u(E[x])가 복권의 기대효용 E[u(x)]보다 위에 놓이며, 같은 평균이라면 확실한 대안을 더 높게 평가하는 위험회피가 나타난다. 이것이 젠센 관계의 그림 판독이다.⁴

선형 효용에서는 두 높이가 같아 위험중립이 되고, 볼록 효용에서는 복권 쪽 평가가 더 높아 위험선호가 나타난다. 이 분류는 모형 속 화폐·부 결과에 대한 선택 성향이다. 용감함이나 겁, 도덕적 우열을 재는 말이 아니며 초기 부와 결과를 무엇으로 정의했는지에 따라 평가가 달라질 수 있다.⁵

2.4. 4. 확실성등가와 위험프리미엄

확실성등가 CE는 복권과 똑같은 효용 평가를 받는 확실한 금액이다.

[ u(CE)=E[u(x)] ]

먼저 복권의 기대효용을 구하고, 그 높이를 효용곡선에서 화폐축으로 되돌려 CE를 찾는다. 그다음 화폐 복권의 위험프리미엄을 E[x]-CE로 계산한다.⁶ 위험회피자라면 보통 CE<E[x], 위험중립자라면 둘이 같고, 위험선호자라면 CE>E[x]가 된다.

위험프리미엄은 불확실성을 없애기 위해 포기할 수 있는 화폐가치의 간격이다. 보험 수요와 연결될 수 있지만 보험료 전체와 같은 말은 아니다. 실제 보험료에는 기대손실과 여러 적재가 함께 들어갈 수 있으므로 개인의 효용 장부와 보험자의 가격 장부를 합쳐 쓰면 안 된다.

2.5. 5. 상트페테르부르크 게임이 보여 주는 경계

상트페테르부르크 게임에서는 계산된 화폐 기대값이 끝없이 커지는 반면, 사람들이 실제로 내려는 금액은 제한되어 둘 사이에 큰 간극이 생길 수 있다. 이는 기대화폐값 하나만으로 위험 선택을 설명하기 어렵다는 문제를 선명하게 만든다.⁷

오목한 효용을 적용하면 원래 형태의 게임에서 기대효용을 유한하게 만들 수 있다. 다만 이것이 게임의 모든 변형이나 합리적 선택에 관한 규범 논쟁까지 완전히 끝낸다고 쓰면 범위를 넘는다. 핵심은 역설의 이름을 외우는 것이 아니라 화폐 평균과 효용 평가가 갈라질 수 있음을 확인하는 데 있다.

3. 수능에서는 이렇게 나온다

복권 자료는 다음 장부 순서로 판독한다.

1. 결과와 확률이 모두 주어졌는지 확인한다. 확률을 특정하기 어려우면 이 문서의 위험 모형을 곧바로 적용하지 않는다.
2. 결과별로 확률×화폐 결과를 계산해 E[x]를 구한다.
3. 각 결과를 u(x)로 바꾼 뒤 확률×효용을 합해 E[u(x)]를 구한다.
4. 곡선이 오목·선형·볼록인지 표시하고 u(E[x])와 E[u(x)]의 높이를 비교한다.
5. E[u(x)]와 같은 효용 높이에서 화폐축으로 내려 CE를 찾는다.
6. 마지막에만 E[x]-CE를 계산해 위험프리미엄의 부호와 크기를 판독한다.
7. 확실한 대안과 복권을 비교하고, 보험 연결이나 상트페테르부르크 사례는 모형의 경계 조건을 확인한 뒤 붙인다.⁸

4. 헷갈리기 쉬운 것들

흔한 오해	왜 틀렸나	바르게 이해하기
기대값이 큰 복권이 언제나 더 좋다	화폐 평균과 효용 평균은 다른 장부다	E[x]와 E[u(x)]를 각각 계산한다
효용은 어떤 단조변환을 해도 복권 순위가 같다	임의 변환은 효용 간격을 바꿔 가중합을 흔든다	VNM 표현은 양의 아핀변환 범위에서 보존된다
오목곡선에서는 E[u(x)]가 더 위다	곡선과 현의 상대 위치를 뒤집었다	위험회피에서는 u(E[x])≥E[u(x)]이다
위험프리미엄은 보험료 총액이다	전자는 개인 복권 평가에서 나온 간격이다	보험자의 기대손실·적재 장부와 분리한다
위험선호자는 용감하고 위험회피자는 겁이 많다	모형 속 결과에 대한 선호를 성격 평가로 바꿨다	초기 부와 결과 정의가 붙은 선택 성향으로 읽는다
오목효용이 상트페테르부르크 문제를 전부 해결한다	원래 게임 설명과 모든 변형·규범 문제는 범위가 다르다	기대화폐값의 한계와 해결 범위를 함께 적는다

5. 관련 개념

• 합리적 경제인과 효용함수 — 확실성하 효용 순위와 VNM 효용 표현의 차이를 잇는다.
• 무차별곡선과 예산선 — 확실한 선택의 선호·제약 장부와 복권 평가를 구별한다.
• 보험의 위험 분산과 대수의 법칙 — 개인의 위험회피가 위험집단과 보험료 설계로 이어지는 지점을 다룬다.
• 생애주기와 기간간 소비선택 — 시점 간 자원 배분에 소득위험이 더해지는 인접 맥락이다.
• 효율적 시장 가설과 차익거래 — 불확실한 수익을 다루는 시장 선택의 인접 문서다.

각주

1. MIT 공개강의 자료는 결과와 확률을 갖춘 복권의 비교를 다룬다. 확률 자체를 정하기 어려운 불확실성은 이 계산 장부의 바깥 경계다. ↩

2. 기호가 비슷해도 대괄호 안을 먼저 보자. x가 들어 있으면 화폐 평균, u(x)가 들어 있으면 효용 평균이다. ↩

3. MIT의 VNM 강의는 같은 복권 선호를 나타내는 변환을 양의 아핀변환으로 한정한다. 암기할 때는 ‘순서만’이 아니라 ‘가중되는 간격’까지 보존한다고 이해하면 된다. ↩

4. 젠센 식을 잊었을 때는 오목곡선 위의 평균점과 두 결과를 잇는 현의 높이를 비교하면 부등호 방향을 복원할 수 있다. ↩

5. MIT의 위험태도 자료는 효용곡률로 위험회피·중립·선호를 분류한다. 이는 특정 결과 공간과 초기 부를 전제로 한 모형 분류다. ↩

6. 순서는 기대효용→같은 효용 높이→화폐축의 CE→E[x]-CE이다. CE를 기대화폐값으로 먼저 놓으면 장부가 처음부터 뒤섞인다. ↩

7. MIT 강의와 Stanford 철학백과의 설명은 상트페테르부르크 게임을 무한한 화폐 기대값과 제한된 지불의사의 간극으로 다루면서 제안된 해법의 범위도 구별한다. ↩

8. 선지 계산은 ‘무엇에 확률을 곱했는가’를 행마다 적으면 안전하다. 보험료나 투자수익 같은 응용어가 붙어도 이 판독 순서는 바뀌지 않는다. ↩