타원의 기하학적 성질

1. 개요

타원은 평면의 두 고정점인 초점까지의 거리 합이 일정한 점들의 자취다. 중심이 원점이고 장축이 x축이면 표준형은 x²/a²+y²/b²=1, a>b>0이고 초점은 (±c,0)이며 c²=a²-b²가 성립한다. 거리 정의, 방정식, 초점·장축·단축의 관계를 한 구조로 연결해야 한다.¹

2. 상세

2.1. 두 초점 거리 합

타원 위의 임의의 점 P에서 두 초점 F₁, F₂까지 거리 PF₁+PF₂는 장축 길이 2a와 같다. 끈의 양 끝을 두 초점에 고정하고 팽팽하게 당긴 연필을 움직이면 이 조건을 만족하는 곡선을 그릴 수 있다. 두 초점 사이 거리 2c와 거리 합 2a를 바꾸지 않는다.²

초점이 중심에서 멀어져 c가 커지되 a가 고정되면 b²=a²-c²이므로 단축이 짧아지고 타원은 더 납작해진다. 초점이 겹쳐 c=0이 되면 a=b인 원이 된다.

2.2. 표준형과 주요 점

x²/a²+y²/b²=1에서 더 큰 분모 a²가 x항에 있으므로 장축은 x축 방향이다. 꼭짓점은 (±a,0), 단축 끝점은 (0,±b), 초점은 (±c,0)이다. 장축이 y축이면 a²가 y항 아래 놓이고 주요 점도 y축 방향으로 바뀐다.³

중심이 (h,k)인 타원은 원점 중심 표준형의 두 좌표 자리에 각각 x-h와 y-k를 넣어 나타낸다. 평행이동 뒤에도 곡선의 생김새와 a, b, c 사이 관계는 변하지 않는다. 힘과 벡터에서 성분과 크기를 나누듯 중심에서 각 점으로 향하는 좌표와 거리의 역할을 분리해 읽는다.

2.3. 이심률과 모양

이심률 e=c/a는 타원의 납작한 정도를 나타내며 0≤e<1이다. e=0이면 원이고 e가 1에 가까워질수록 길쭉해진다. 그러나 e만 같으면 크기가 같은 것은 아니다. a와 b를 같은 비율로 확대하면 모양은 같고 크기만 커진다.⁴

2.4. 반사 성질과 응용

한 초점에서 출발한 광선이 이상적인 타원 경계에 닿아 반사되면 다른 초점을 향한다. 접선이 두 초점 방향과 이루는 각의 관계로 설명할 수 있으며 반사와 굴절의 입사각·반사각 원리와 연결된다. 타원형 음향 반사판에서는 한 초점 부근 소리가 다른 초점 부근에 모일 수 있다.⁵

현실에서는 표면 거칠기, 3차원 형상, 파동의 기본 성질에 따른 회절과 흡수 때문에 완벽히 한 점에 모이지 않는다. 행성 궤도에서는 중심이 아니라 한 초점에 중심천체가 놓인다는 점을 구분한다.

3. 수능에서는 이렇게 나온다

거리 합 조건이 나오면 상수 2a, 초점 간격 2c, 단축 2b를 따로 적고 a²=b²+c²로 연결한다. 표준형에서는 큰 분모의 축을 먼저 찾고 중심 이동을 복원한다.

반사 그림은 광선의 출발 초점, 경계의 접선, 도착 초점을 표시한다. 타원의 중심을 광선의 출발점으로 바꾸는 선지를 거른다. 실험 사례가 붙으면 통제변수와 이상 조건을 확인한다.

4. 헷갈리기 쉬운 것들

항목	관계	주의
거리 합	PF₁+PF₂=2a	초점 사이 거리와 다름
초점 거리	중심에서 각 초점까지 c	c²=a²-b²
큰 분모	장축 방향	x축으로 고정되지 않음
이심률	e=c/a	크기보다 모양 지표

5. 관련 개념

• 반사와 굴절 — 타원 접선에서 입사각과 반사각이 같다는 원리를 적용한다.
• 파동의 기본 성질 — 실제 음향·광학 응용에서 회절과 흡수를 고려한다.
• 힘과 벡터 — 좌표 성분과 거리 크기를 구분하는 기하적 읽기를 돕는다.
• 통제변수 — 타원 반사 실험에서 형상 외 조건을 일정하게 유지한다.

각주

1. 표준형의 a는 항상 반장축 길이로 두며 x축 방향이라는 뜻은 아니다. ↩

2. 거리 합은 타원 위 어느 점을 골라도 같고 초점 사이 거리보다 크다. ↩

3. a=b인 경우에는 장축 방향이 구별되지 않고 원이 된다. ↩

4. 이심률이 같아도 a의 절대값이 다르면 서로 닮았지만 크기가 다른 타원이다. ↩

5. 반사 성질은 이상적인 매끄러운 경계와 기하광학·음향 근사를 전제로 한다. ↩